Maximum régularisé

En mathématiques, un maximum régularisé (smooth maximum) d'une famille indicée x₁, ..., x_n de nombres est une approximation lisse de la fonction maximum max(x₁,...,x_n), par une famille paramétrée de fonctions m_α(x₁,...,x_n) telle que la fonction m_α est régulière pour toute valeur réelle de α, et tend vers la fonction maximum pour α → ∞ ou α → 0 . Le concept de minimum régularisé peut être défini de façon similaire. Dans plusieurs cas, une même famille peut servir à approcher les deux fonctions, le maximum pour des valeurs positives très grandes, le minimum vers l'infini négatif :

m_{\alpha }\to \max \ {\textrm {pour}}\ \alpha \to \infty ,\ m_{\alpha }\to \min \ {\textrm {pour}}\ \alpha \to -\infty .

Le terme peut être utilisé pour toute fonction régularisante se comportant de façon similaire à la fonction maximum, sans être paramétrée.

Exemples

Approximations dérivables de la valeur absolue

En utilisant la définition suivante du maximum de deux nombres :

\max(x_{1},x_{2})={\frac {x_{1} x_{2} |x_{2}-x_{1}|}{2}}

on peut définir une fonction maximum régularisé en remplaçant le terme en valeur absolue par une fonction lisse équivalente, comme ${\textstyle {\sqrt {x^{2} \alpha ^{2}}}}$ ou ${\textstyle x\,\mathrm {erf} (\alpha x)}$ , où erf désigne la fonction d'erreur.

Softmax

Pour de grandes valeurs du paramètre α > 0, la fonction S_α définie ci-après, parfois appelée « α-softmax », est une approximation lisse et différentiable de la fonction maximum. Pour des valeurs négatives du paramètre grandes en valeur absolue, elle approche le minimum. La fonction α-softmax est définie par :

S_{\alpha }(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathrm {e} ^{\alpha x_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}\mathrm {e} ^{\alpha x_{i}}}}

S_α a les propriétés suivantes :

$S_{\alpha }{\underset {\alpha \to \infty }{\longrightarrow }}\max$
S₀ renvoie la moyenne arithmétique
$S_{\alpha }{\underset {\alpha \to -\infty }{\longrightarrow }}\min$

Le gradient de S_α est lié à la fonction softmax et vaut

\nabla _{x_{i}}S_{\alpha }(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {\mathrm {e} ^{\alpha x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}\mathrm {e} ^{\alpha x_{j}}}}[1 \alpha (x_{i}-S_{\alpha }(x_{1},\ldots ,x_{n}))].

Ceci rend la fonction softmax intéressante pour des techniques d'optimisation utilisant la descente de gradient.^{[réf. souhaitée]}

Normes de Hölder

Une forme de maximum régularisé peut être basée sur une moyenne généralisée. Par exemple, pour des valeurs x₁, ..., x_n positives, on peut utiliser une moyenne d'ordre α > 1, soit

S_{\alpha }(x_{1},\ldots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}x_{j}^{\alpha }\right)^{\frac {1}{\alpha }}.

LogSumExp

Un autre maximum régularisé est connu sous le nom « LogSumExp »:

\mathrm {LSE} (x_{1},\ldots ,x_{n})=\ln(\exp(x_{1}) \ldots  \exp(x_{n}))

La fonction peut être normalisée si les x_i sont tous positifs, menant à une fonction définie sur [0 , ∞[ⁿ vers [0 , ∞[:

g(x_{1},\ldots ,x_{n})=\ln(\exp(x_{1}) \ldots  \exp(x_{n})-(n-1))

Le terme (n – 1) est un coefficient de correction pour prendre en compte que exp(0) = 1, assurant ainsi qu'on ait bien g(0, ... ,0) = 0 si tous les x_i sont nuls.

La fonction LogSumExp peut être paramétrée pour éviter les artefacts de lissage. On appelle cette forme « α-quasimax », définie par:

{\mathcal {Q}}_{\alpha }(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {1}{\alpha }}\mathrm {LSE} (\alpha x_{1},\ldots ,\alpha x_{n})={\frac {1}{\alpha }}\ln(\exp(\alpha x_{1}) \ldots  \exp(\alpha x_{n}))

Utilisation dans des méthodes numériques

Les maximums lisses ont un intérêt dans les recherches d'extrema sur des ensembles de données discrètes ou des algorithmes d'optimisation par descente du gradient.